포물선

• 정의

  평면 위의 한 정점 (초점) $F$와 그 점을 지나지 않는 한 직선 (준선) $l$

  ⇒ 점 $F$와 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 접들의 집합

• 방정식

  • $(p,0)$이 초점이고 $x=-p$가 준선인 포물선 : $y^2=4px$
  • $(0,p)$가 초점이고 $y=-p$가 준선인 포물선 : $x^2=4py$

• 접선

  • 기울기가 $m$인 $y^2=4px$의 접선 : $\displaystyle y=mx+\frac{p}{m}$
  • 기울기가 $m$인 $x^2=4py$의 접선 : $y=mx-m^2p$
  • $(x_1, y_1)$에서의 접선 : $yy_1=2p(x+x_1)$ 또는 $xx_1=2p(y+y_1)$
  • $(a, b)$만큼 평행이동한 경우 : $x$ 대신 $x-a$, $x_1$ 대신 $x_1-a$, …을 대입

• 성질

  • 준선 위의 한 점에서 그은 두 접선은 직교

  • 마름모

    

타원

• 정의

  평면 위의 두 정점(초점)으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합

• 방정식

  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ⇒ 꼭짓점 $(\pm a,0), (0, \pm b)$

  $c=\sqrt{|a^2-b^2|}$

  • $a>b$ : 장축 $2a$, 초점 $(\pm c,0)$
  • $b>a$ : 장축 $2b$, 초점 $(0,\pm c)$

• 접선

  • 기울기가 $m$ : $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$
  • $(x_1,y_1)$을 지남 : $\displaystyle\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$

쌍곡선

• 정의

  평면 위의 두 정점(초점)으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합

• 방정식

  $c=\sqrt{a^2+b^2}$ , 점근선 : $y\pm\frac{b}{a}x$

  • 초점이 $(\pm c,0)$인 경우 : $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
    • 꼭짓점 : $(\pm a,0)$, 주축 $2a$
  • 초점이 $(0,\pm c)$인 경우 : $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$
    • 꼭짓점 : $(0,\pm b)$, 주축 $2b$

• 접선

  • 기울기가 $m$, 초점 $x$축 : $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$
  • 기울기가 $m$, 초점 $y$축 : $y=mx\pm\sqrt{b^2-a^2m^2}$
  • $(x_1, y_1)$을 지남, 초점 $x$축 : $\displaystyle\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1$
  • $(x_1, y_1)$을 지남, 초점 $y$축 : $\displaystyle\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=-1$