직선

• 점 $A(x_1, y_1, z_1)$을 지나고, 벡터 $\vec u=(a,b, c)$에 평행한 직선

  • $\vec p=\vec a+t\vec u$
  • $\begin{cases} x=x_1+at\\ y=y_1+bt\\ z=z_1+ct \end{cases}$
  • $\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}$

• 두 점 $A(x_1, y_1, z_1), \, B(x_2, y_2, z_2)$를 지나는 직선

  • $\vec p = (1-t)\vec a + t \vec b$
  • $\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)t\\y=y_1+(y_2-y_1)t\\z=z_1+(z_2-z_1)t\end{cases}$
  • $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$

• 두 직선의 방향벡터 $\vec {u_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{u_2}=(a_2,b_2,c_2)$

  • $l_1 \parallel l_2 \Lrarr \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$
  • $l_1\perp l_2\Lrarr a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$
  • 두 직선이 이루는 각 $\theta$ ⇒ $\cos\theta = \dfrac{| \vec{d_1}\cdot\vec{d_2}|}{ | \vec{d_1} | \cdot|\vec{d_2}| }=

  \dfrac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{({a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2)({a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2)}}$

평면

• 법선벡터 $\vec n=(a, b, c)$이고 $(x_1, y_1, z_1)$를 지나는 평면
  • $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
• 점 $A(x_1, y_1, z_1)$를 지나고, 법선벡터 $\vec n=(a, b, c)$에 수직인 평면
  • $(\vec p - \vec a)\cdot \vec n=0$
  • $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
• 두 평면 $\alpha, \beta$의 법선벡터 $\vec{n_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{n_2}=(a_2,b_2,c_2)$
  • 두 평면이 이루는 각 $\theta$ ⇒ $\cos\theta = \dfrac{| \vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{ | \vec{n_1} | \cdot|\vec{n_2}| }$
  • 두 평면이 평행 ⇒ $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Lrarr\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$
  • 두 평면이 수직 ⇒ $n_1\perp n_2\Lrarr a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$

원 / 구

• 두 점 $A, B$가 지름의 양 끝점인 원 / 구
  • $(\vec p-\vec a)\cdot(\vec p - \vec b)=0$
• 두 점 $A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)$가 지름의 양 끝점인 구
  • $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$