적분

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C$

$$ \int \frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac 1a\arctan\left(\frac xa\right) $$

$$ \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\\

$$

$$ \int e^{at}\cos{bt}\;\mathrm{d}t=\frac{e^{at}}{a^2+b^2}(a\cos{bt}+b\sin{bt})\\ \int e^{at}\sin{bt}\;\mathrm{d}t=\frac{e^{at}}{a^2+b^2}(a\cos{bt}-b\sin{bt}) $$

라플라스 변환

$\displaystyle L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\, L\{e^{\alpha t}\}=\frac{1}{s-\alpha},\, L\{\sin kt\}=\frac{k}{s^2+k^2},\, L\{\cos kt\}=\frac{s}{s^2+k^2}$

$\displaystyle L\{\sinh kt\}=\frac{k}{s^2-k^2},\, L\{\cosh kt\}=\frac{s}{s^2-k^2}$

도함수의 변환

$$ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) $$

제1이동정리 $L\{f(t)\}=F(s)\implies L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$

단위계단 함수 $U(t-a)=\ !!(t\ge a)$

제2이동정리 $F(s)=L\{f(n)\}\implies L\{f(t-a)U(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

중간 범위

풀이법

변수분리형

$$ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g(x)h(y)\\ \rarr \int\frac1{h(y)}\mathrm dy=\int g(x)\mathrm dx, H(y)=G(x)+C

$$

선형방정식

표준형