벡터

한 점 $A$에서 다른 점 $B$까지의 이동에 대응하는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$ => 시점 A, 종점 B

• 행벡터 : $\begin{bmatrix} 3 & 2\end{bmatrix}$
• 열벡터 : $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$
• 영벡터 $\mathbf{0}$ or $\vec 0$ : $\overrightarrow{OO}$

벡터의 대수적 성질

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

벡터의 길이

$\displaystyle \Vert \mathbf{v} \Vert = \sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}$

• 코시-슈바르츠 부등식 : $|\vec u \cdot \vec v| \leq \Vert \vec u \Vert \ \Vert \vec v \Vert$
• 삼각부등식 : $\Vert \vec u + \vec v \Vert \leq \Vert \vec u \Vert + \Vert \vec v \Vert$

두 벡터 사이의 거리

$d(\vec u, \vec v)=\Vert \vec u - \vec v \Vert$

단위벡터

= 길이가 1인 벡터

• 정규화 : 같은 방향에 있는 단위벡터를 구하는 것

기본 단위벡터

$\mathbb{R}^n$에서 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n$ : $i$번째 성분이 1이고 나머지는 0인 벡터

사영

$\mathbf{u}$ 위로의 $\mathbf{v}$의 사영 $\text{proj}_\mathbf{u}(\mathbf{v})$

$$ \text{proj}_\mathbf{u}(\mathbf{v}) = \left(\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\right)\mathbf{u}

$$

스칼라적

$$ \mathbf{u}=\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}, \mathbf{v}=\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \text{이면, }

$$

$$

\mathbf{u}\text{와 } \mathbf{v}\text{의 스칼라적}\\\ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n

$$