가역행렬의 기본정리

Fundamental theorem of invertible matrices, FTIM

$A$가 $n\times n$ 행렬일 때, 다음 명제들은 동치이다.

1. $A$는 가역행렬이다.
2. 임의의 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$에 대하여, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 유일한 해를 갖는다.
3. $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 해는 자명해뿐이다.
4. $A$의 기약 행사다리꼴은 $I_n$이다.
5. $A$는 기본행렬들의 곱이다.
6. $\text{rank}(A)=n$
7. $\text{nullity}(A)=0$
8. $A$의 열/행벡터들은 일차독립이다.
9. $A$의 열/행벡터들은 $\mathbb{R}^n$을 생성한다.
10. $A$의 열/행벡터들은 $\mathbb{R}^n$에 대한 기저이다.
11. $\text{det}A\neq 0$
12. $0$은 $A$의 고윳값이 아니다.