임의의 서로 다른 두 벡터가 항상 수직인 벡터의 집합을 직교집합이라고 한다.

• $\{v_1, \cdots, v_k\}$가 직교집합이면, 이 벡터들은 일차독립이다.

$\mathbb{R}^n$의 한 부분공간 $W$의 기저이면서 직교하는 부분집합을 $W$의 직교기저라고 한다.

직교기저를 $\{v_1, \cdots, v_k\}$라 하면, $\forall w\in W,\exists c_1,\cdots,c_k \text{ s.t. }w=c_1v_1+\cdots+c_kv_k$

• 이때 $c_i=\dfrac{w\cdot v_i}{v_i \cdot v_i}\ (i=1,\cdots,k)$

$\mathbb{R}^n$의 직교집합의 모든 벡터가 단위벡터이면 정규직교 집합

$\mathbb{R}^n$의 부분공간 $W$의 정규직교 집합인 기저는 정규직교기저

정규직교기저를 $\{q_1, \cdots, q_k\}$라 하면, $\forall w\in W, w=(w\cdot q_1)q_1+\cdots + (w\cdot q_k)q_k$

이러한 표현은 유일하다.

$n\times n$ 행렬 $Q$의 열벡터들이 정규직교 집합이면 $Q$를 직교행렬이라고 한다.

• $m\times n$ 행렬 $Q$의 열벡터들이 정규직교 집합일 필요충분조건은 $Q^TQ=I_n$이다.

• 정사각행렬 $Q$가 직교행렬이 될 필요충분조건은 $Q^{-1}=Q^T$이다.

• $n\times n$ 행렬 $Q$에 대해 다음은 동치이다.

  1. $Q$는 직교행렬
  2. $\mathbb{R}^n$의 모든 $x$에 대해 $\Vert Qx\Vert = \Vert x \Vert$이다.
  3. $\mathbb{R}^n$의 모든 $x, y$에 대해 $Qx\cdot Qy=x\cdot y$이다.
  • 증명: 1 → 3 → 2 → 1

• $Q$, $Q’$이 직교행렬이면,

  • $Q^{-1}$은 직교행렬이다.
  • $\operatorname{det}Q=\pm 1$
  • $\forall \lambda\in (Q$의 고윳값$), |\lambda|=1$
  • $QQ’$은 직교행렬

$\mathbb{R}^n$의 부분공간 $W$의 모든 벡터와 수직인 벡터 $v$는 $W$에 수직 또는 직교라고 한다.