덧셈과 스칼라배 연산이 정의된 공집합이 아닌 집합 $V$

$\forall\ \vec u, \vec v, \vec w, c, d \in V$가 다음을 만족할 때 $V$를 벡터공간이라 하고, $V$에 속하는 원소를 벡터라고 한다.

1. $\vec u + \vec v \in V$ : 덧셈에 대한 닫힘성
2. $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$ : 교환법칙
3. $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$ : 결합법칙
4. $\exists\vec 0\in V \text{ s.t. }\forall \vec u\in V,\vec u+\vec 0=\vec u$
5. $\forall \vec u\in V, \exists (-\vec u) \text{ s.t. } \vec u + (-\vec u) = \vec 0$
6. $c\vec u \in V$ : 스칼라배에 대한 닫힘성
7. $c(\vec u + \vec v) = c\vec u + c \vec v$
8. $(c + d)\vec u = c\vec u + d\vec u$
9. $c(d\vec u)=(cd)\vec u$
10. $1\vec u = \vec u$

• $\mathcal{P}_n$ : $n$차 이하의 모든 실계수 다항식의 집합
• $\mathcal{P}$ : 모든 다항식의 집합

• $\mathcal{P}_n$과 $\mathcal{P}$는 벡터공간이다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 $V$에서 정의된 연산에 관하여 벡터공간을 이룰 때, $W$를 $V$의 부분공간이라 한다.

• $\forall u, v\in W, c\in \mathbb{R}\rarr u+v\in W, cu\in W$임과 필요충분이다.