벡터공간 $V$에서 내적은 $u, v$에 대해 실수 $\langle u, v\rangle$가 결정되는 연산으로 정의한다.

1. $\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle$
2. $\langle u, v+w\rangle=\langle u, v\rangle+\langle u, w\rangle$
3. $\langle cu, v\rangle=c\langle u, v\rangle$
4. $\langle u, u\rangle \geq0,\langle u, u\rangle=0\Leftrightarrow u=\vec0$

내적을 갖는 공간을 내적공간이라 부른다.

• 가중 스칼라적: $\langle u, v\rangle = w_1u_1v_1+\cdots+w_nu_nv_n$

$v$의 길이 또는 크기 $\Vert v \Vert=\sqrt{\langle v, v\rangle}$

$u$와 $v$의 거리 $\mathrm{d}(u, v)=\Vert u-v \Vert$

$\langle u, v\rangle=0$이면 $u$와 $v$는 수직

$\Leftrightarrow \Vert u+v\Vert^2=\Vert u \Vert^2+\Vert v\Vert^2$ (피타고라스 정리)

코시-슈바르츠 부등식

$|\langle u, v\rangle | \leq \Vert u\Vert\Vert v\Vert$, 등호는 $u=\mathrm{c}v$일 때 성립

삼각부등식

$\Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert+\Vert v\Vert$